La suite de Fibonacci et le nombre d’or

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Leonardo Fibonacci est sans aucun doute l’un des plus grands mathématiciens du Moyen Âge. Lors de ses séjours au Maghreb, il découvrit les travaux d’al-Khwarizmi et d’Abu Kamil sur les équations à une ou plusieurs inconnues et de retour en Europe, il publia en 1202 le Livre des calculs, résumé des connaissances mathématiques de l’époque. Parmi les objets abstraits décrits dans son ouvrage, figure une suite qui lui assurera une grande popularité.

Le problème qu’il posa est le suivant : considérons un élevage de lapins régi par trois règles :

l’élevage est initialement constitué d’un seul couple
lors de leurs deux premiers mois de vie, les lapins sont trop jeunes pour se reproduire
à partir du troisième mois, chaque couple de lapins donne naissance à un nouveau couple tous les mois.

On obtient alors l’évolution suivante :

premier mois : Un seul couple A
deuxième mois : Toujours un seul couple, encore trop jeune pour se reproduire
mois n°3 : A donne naissance à un nouveau couple B
mois n°4 : A donne naissance à un autre couple C. Le couple B vit son deuxième mois et est donc trop jeune pour se reproduire.
A donne naissance à D, B donne naissance à E, C est trop jeune pour se reproduire.
A donne naissance à F, B donne naissance à G, C donne naissance à H. Tandis que D et E sont encore trop jeunes.
A, B, C, D et E engendrent I, J, K, L et M. Tandis que F, G et H sont trop jeunes.
A, B, C, D, E, F, G et H engendrent tandis que I, J, K, L et M sont trop jeunes…

En comptant le nombre de lapin à chaque génération, on obtient la suite de Fibonacci : 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21…

Autre définition de la suite

Examinons plus attentivement le mois numéro 8. On dénombre d’un côté 8 couples matures (A, B, C, D, E, F, G, et H) et leurs nouveau-nés donc 16 couples. Ce à quoi on ajoute 5 couples trop jeunes (I, J, K, L et M). On obtient donc en tout 16+5=21 couples.

Or en ajoutant les lapins des étapes 6 et 7, on compte deux fois les 8 couples (A, B, C, D, E, F, G, et H) plus une fois les 5 couples (I, J, K, L et M). On tombe alors exactement sur le nombre de lapins à l’étape 8 : deux fois 8 couples plus 5 couples trop jeunes.

En notant $u_n$ le nombre de couples à l’étape $n$ , on vient de montrer que $u_6+u_7=u_8$ . Le raisonnement reste valable pour toute valeur de $n$ supérieure à 3, d’où la relation de récurrence :

$u_n+u_{n+1}=u_{n+2}$

On vérifie que cela fonctionne pour les premiers mois :

1+1=2

1+2=3

2+3=5

3+5=8

5+8=13

8+13=21

Des lapins aux pommes de pin

Cette suite n’est pas qu’une bizarrerie mathématique. On la retrouve en effet de façon très directe dans la nature, en particulier dans certaines espèces végétales qui organisent leur croissance en spirale à partir d’un motif répété plusieurs fois. C’est le cas des marguerites, des tournesols et des pommes de pin.

Pomme de pins.png — source : redecourvrirdieu.blogspot.fr

Ainsi dans l’exemple ci dessus, la même pomme de pin fait apparaître deux termes consécutifs (8 et 13) de la suite de Fibonacci suivant que l’on compte les spirales tournant dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse.

Le nombre d’or

Un des aspects les plus singuliers de la suite est son lien avec le nombre d’or. Connu depuis l’antiquité, les Grecs le considéraient comme une proportion parfaite. Il apparaît dans la devanture du Parthénon et intervient, entre autres, dans le rapport des diagonales et des côtés du pentagone régulier. Sa valeur exacte est $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et sa valeur approchée 1,618.

Mais quel rapport avec la suite de Fibonacci?

Il se trouve que le rapport de deux termes successifs de la suite se rapproche toujours un peu plus du nombre d’or :

3/2=1,5

5/3=1.666

8/5=1.6

13/8=1.625

21/13=1.615

34/21=1.619

…

À chaque étape, le nombre de lapins dans l’expérience de Fibonacci est donc multiplié par un nombre de plus en plus proche du nombre d’or.

Ainsi les organismes ayant un motif de construction basé sur la suite de Fibonacci verront naturellement apparaître le nombre d’or dans leurs proportions.

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Cet article est inspiré d’un chapitre de l’ouvrage passionnant Le grand roman des maths, de la préhistoire à nos jours écrit par Mickaël Launay.

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