Portrait n°5 : Archimède

Mathématicien et physicien de génie, Archimède (287 av. J.-C. – 212 av. J.-C.) est souvent considéré comme le plus grand scientifique de l’Antiquité. Voici quelques-uns de ses apports.

Encadrement de $\pi$

Il utilise vers 250 av J.-C. des polygones inscrits et circonscrits au cercle afin de donner une valeur approchée de $\pi$ .

À l’aide de polygones à 96 côtés, il donne l’encadrement suivant :

$\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7}$ .

On utilise le fait que le périmètre du cercle est égal à

$2\pi R$

avec R le rayon du cercle et que ce périmètre est compris entre celui de l’hexagone inscrit ABCDEF et celui de l’hexagone circonscrit UVWXYZ. On obtient alors l’encadrement recherché.

Le palimpseste

Pour recopier une œuvre, les moines copistes utilisaient souvent des parchemins déjà utilisés par soucis d’économie. Plusieurs textes d’Archimède ont ainsi été compilés sur un parchemin puis effacés par un copiste qui inscrit un texte liturgique grec par dessus. Le parchemin fut redécouvert à Constantinople en 1906 et les textes mal effacés ont pu être retranscrits. Plus tard, on utilisa des rayons X et des ultraviolets afin de déchiffrer le reste.

Ci-dessus, une page du palimpseste avec le texte liturgique de haut en bas et sur lequel on devine le texte originel du traité d’Archimède de gauche à droite.

Une page du palimpseste révélée par les méthodes d’imagerie modernes.

La Méthode

Sur ce palimpseste se trouve une méthode utilisée par Archimède pour calculer des longueurs de courbes, des aires, des volumes ainsi que des positions de centres de gravité de figures usuelles. Il s’agit de la méthode d’exhaustion inventée par Eudoxe : on a l’intuition qu’une aire A est égale à une certaine valeur B puis on raisonne par double raisonnement par l’absurde. On suppose que A<B, on aboutit à une contradiction. Même chose pour A>B. Et on en conclut A=B.

On ignore cependant d’où venaient les intuitions géniales d’Archimède sur les valeurs recherchées.

Le cylindre

Un des résultats dont Archimède sera la plus fier est que l’aire d’un cylindre vaut $2\pi r^2+2\pi rh$ et que son volume vaut $\pi r^2h$ .

sphere-cylindre2 — Une page de l’ouvrage d’Archimède *De la sphère et du cylindre.*

Pour démontrer ces résultats, il utilise des découpages de surface en petites portions qui seront réinventés beaucoup plus tard lors des prémices du calcul intégral de Newton et de Leibniz. Il montre ainsi que le volume d’une boule contenue dans un cylindre de hauteur $h=2r$ vaut 2/3 du volume du cylindre.

sphere-cyl — Sphère de rayon r et cylindre circonscrit

Archimède, fier de son résultat, demandera que ce dessin soit gravé sur sa tombe. Tombe laissée à l’abandon et redécouverte plus d’un siècle plus tard par Cicéron.

Cicéron redécouvrant la tombe d’Archimède envahie par la végétation

Mécanique statique

Archimède s’intéressa également de près au principe de levier et de centre de gravité. Inventeur de génie, il facilite le halage des navires grâce à des systèmes de poulies et des leviers ce qui lui fera déclarer « donnez-moi un point d’appui et je soulèverai le monde ». Il utilisera d’ailleurs des raisonnements basés sur les calculs de centre de gravité afin d’établir des démonstrations géométriques.

Il décrit le fonctionnement de la balance romaine, développe les meurtrières, les catapultes et un odomètre permettant de mesurer la distance parcourue par une armée.

Il s’inspire de la vis sans fin des Égyptiens pour créer la vis d’Archimède permettant de pomper l’eau plus facilement.

Eurêka

Selon la légende, Hiéron II souverain de Syracuse avait demandé qu’on lui fabrique une couronne d’or pur. Soupçonnant que de l’argent (moins cher) ait été mélangé avec l’or, il demanda à Archimède de déterminer la composition de la couronne. Archimède aurait eu l’idée dans son bain d’observer la quantité d’eau déplacée par la couronne une fois immergée. Il serait alors sorti, nu comme un ver, courant dans les rues en criant « Eurêka ! », soit « J’ai trouvé ! » en grec.

La légende est peut-être fantaisiste mais Archimède a bel et bien étudié l’influence du liquide sur les corps immergés. Il en tire sa description de la poussée d’Archimède qui a tendance à faire flotter les corps moins denses que l’eau.

Lorsqu’un corps est immergé la pression est plus forte sur le bas de l’objet que sur le haut. En résulte une force orientée vers le haut égale au poids du fluide déplacé par l’objet.

Invasion de Syracuse

En 212 av. J.-C. les Romains prennent la ville de Syracuse. Le général Marcellus, informé de la présence du savant dans la ville, défend ses soldats de tuer Archimède. Malheureusement, un fantassin surprend le vieux génie en train de dessiner sur le sol. Mécontent d’être dérangé dans ses réflexions, le savant lui lance « ne dérange pas mes cercles ! » Le soldat, vexé, tue Archimède ce qui remplira Marcellus de tristesse.