Portrait n°4 : Blaise Pascal

Intéressé par les sciences et les mathématiques dès son plus jeune âge, Blaise Pascal profite des discussions de son père avec de grands savants de l’époque tels que Descartes. À l’âge de 11 ans, il écrit son premier ouvrage scientifique et démontre une proposition d’Euclide sur la somme des angles d’un triangle.

Géométrie

Il démontre également à 16 ans ce qui deviendra le théorème de Pascal.

Le théorème est le suivant : si ABCDEF est un hexagone inscrit dans une ellipse, alors les intersections des côtés opposés de l’hexagone sont alignées.

Ici AB et DE sont des côtés opposés de l’hexagone. Leur intersection est le point G. BC et EF ont pour intersection le point H et CD et AF le point I. On observe que les points G, H et I sont alignés.

Le triangle de Pascal

Ses contributions aux mathématiques sont déterminantes pour l’époque. Il pose les bases du calcul infinitésimal que Leibniz développera quelques années plus tard. Pascal met également au point un tableau, appelé triangle de Pascal et déjà connu des Perses et des Chinois, permettant de classer les coefficients binomiaux $C_n^k$ apparaissant dans la formule du binôme de Newton :

$(x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n C_n^kx^ky^{n-k}$ .

Pour prouver la conception de ce tableau, Pascal réalise le premier raisonnement par récurrence de l’histoire.

La théorie des probabilités

Plus tard, le chevalier de Méré lui pose un problème de jeu de hasard appelé problème des partis. Il s’agit de répartir les gains d’un jeu de hasard interrompu. Exemple : le joueur A et le joueur B jouent à un jeu en trois manches gagnantes. On suppose que chaque joueur a une chance sur deux de remporter chaque manche. La question que pose le chevalier est la suivante : si le joueur A mène 2 à 1 et que le jeu est interrompu, comment faut-il répartir les gains ?

Le raisonnement de Pascal est le suivant :

si la manche non jouée était remportée par le joueur A, le score serait monté à 3 contre 1 : le joueur A aurait gagné l’intégralité des gains.
si la manche était remportée par le joueur B, le score serait de 2 contre 2 : les joueurs devraient alors partager les gains équitablement.

Appelons m la mise de chaque joueur. Dans le premier cas, le joueur A remporte 2m et le joueur B repart les mains vides. Dans le second cas, A et B remportent m tous les deux. En sommant toutes les possibilités : A remporte 3m et B remporte m : le joueur A doit donc récupérer 3 fois plus d’argent que le joueur B.

Reportée sur la mise totale de 2m, cette information permet de conclure que A doit repartir avec 3m/2 et B avec m/2.

Ce genre de problème qui peut se généraliser à l’étude des ruptures de contrats commerciaux donnera naissance à la théorie des probabilités.

Hydrodynamique

S’appuyant sur les travaux de Torricelli, Pascal établit une théorie de la pression atmosphérique. Il a été observé que l’eau ne pouvait pas être pompée d’une mine si sa profondeur excédait les 10 mètres. Pour expliquer ce phénomène, Pascal suppose que l’air a un poids et exerce une pression sur l’eau.

À la surface d’un lac, la pression de l’eau s’équilibre avec celle de l’air. Mais lorsque l’on plonge sous l’eau, la pression augmente à cause de la masse d’eau placée au-dessus de l’observateur. À l’inverse, quand on monte le long de la pompe aspirante la pression diminue jusqu’à atteindre une valeur nulle ce qui crée une bulle de vide dans la pompe, l’empêchant ainsi de fonctionner.

Le même principe s’applique aux tubes remplis de mercure de Torricelli. Cette fois, le vide se forme, non pas à 10 mètres comme pour le cas de l’eau, mais à 76 cm.

Pour prouver sa théorie, Pascal réalise l’expérience de Torricelli en haut du Puy-de-Dôme et observe effectivement que le mercure monte moins haut à cause de la baisse de pression en altitude.

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