Les puces sont capables d’un exploit athlétique incroyable : elles bondissent à une hauteur de 34 cm. Sachant qu’elles ne mesurent qu’un millimètre, cela représente plus de 300 fois leur propre taille.
Lors du saut, elles subissent d’ailleurs une énorme accélération de 140 g, c’est-à-dire 140 fois l’accélération normale subie au repos à cause de l’attraction terrestre. On connaît également des bactéries qui résistent à une accélération encore plus importante avoisinant les 400 g. Les pilotes de chasse, eux, ne supportent pas plus de 6 ou 7 g (même si le record de survie est bien plus élevé) et ne sautent pas plus de 2 fois leur hauteur. Quant aux éléphants, ils sont totalement incapables d’effectuer le moindre saut.
Pourquoi les animaux semblent-ils devenir de plus en plus faibles à mesure qu’ils grossissent? Rapportées à l’échelle, les fourmis semblent infiniment plus fortes que les éléphants : elles sont capables de soulever 5000 fois leur propre poids alors que les éléphants soulèvent certes de lourdes charges mais qui restent légères rapportées à leur masse.
On pourrait penser que, d’un côté, les charges sont plus lourdes mais que, d’un autre côté, les muscles du pachyderme deviennent plus forts et permettent de compenser. Il semble que les choses ne se déroulent pas aussi simplement.
Invariance d’échelle
Lorsqu’un phénomène se reproduit de la même manière à différentes échelles, on dit qu’il est invariant d’échelle.
La diffusion de particules d’encre dans de l’eau, qui ressemble à la marche aléatoire de l’ivrogne est un exemple de phénomène invariant d’échelle : la goutte d’encre semble diffuser exactement de la même manière si on la regarde de près lorsqu’elle est petite ou si on l’observe de loin lorsqu’elle a grossi.
Les fractales comme le flocon de Koch sont également des objets invariants d’échelle. Ils gardent la même structure peu importe l’échelle à laquelle on les observe.
Il se trouve que développer une force pour sauter ou pour soulever une charge n’est pas invariant d’échelle. Par exemple, un humain est environ mille fois plus grand qu’une fourmi mais ses caractéristiques physiques ne sont pas toutes multipliées par mille. En effet, le volume est proportionnel aux 3 dimensions de l’espace qui sont toutes multipliées par mille dans notre exemple. Le volume d’un humain est donc 1000 x 1000 x 1000 = un milliard de fois plus important que celui de la fourmi.
Le poids étant proportionnel au volume, un humain pèse un milliard de fois plus lourd qu’une fourmi. À cela, on pourrait répondre que les muscles des humains sont un milliard de fois plus lourds ce qui permettrait de réaliser les mêmes exploits. Néanmoins, ce n’est pas le volume des muscles qui importe pour connaître leur force mais la surface de leur section. Si l’on modélise le muscle par un cylindre, sectionner ce cylindre perpendiculairement à son axe fait apparaître un disque. C’est ce disque qu’on appelle section et dont l’aire nous intéresse ici.
Un biceps de 5 cm de diamètre a une section de 19 cm² et un biceps avec un diamètre de 10 cm une section de 78 cm². Ce dernier développe donc une force 4 fois plus importante. La longueur du muscle a peu d’importance ici. C’est donc bien une grandeur de surface qui rend compte de la force développée.
Un humain est mille fois plus grand qu’une fourmi, les sections de ses muscles ont donc une surface environ 1000 x 1000 = un million de fois plus grande. La force qu’il développe est donc un million de fois plus grande mais son poids est un milliard de fois plus important. Le facteur multiplicatif est bien plus grand pour le poids que pour la force. Voilà pourquoi les fourmis peuvent soulever des objets pesant plusieurs fois leur poids et que les animaux plus gros en sont incapables. C’est aussi la raison pour laquelle les fourmis peuvent tenir sur des pattes fines et que les éléphants ont besoin de pattes très épaisses pour se maintenir debout.
Cette conclusion s’adaptent à tout type d’effort ce qui explique les mouvements proportionnellement gigantesques des puces ainsi que l’incapacité des éléphant à sauter ne serait-ce que de quelques centimètres.
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Si, les éléphants peuvent sauter, mais d’une hauteur !
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