La distribution gaussienne

Article de niveau licence.

On a vu dans l’article sur la marche aléatoire de l’ivrogne que les probabilités étaient les suivantes après N pas aléatoires à gauche ou à droite :

pour N=3 : (1/8, 3/8, 3/8, 1/8),
pour N=4 : (1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16)
pour N=5 : (1/32, 5/32, 10/32, 10/32, 5/32, 1/32)
pour N=6 : (1/64, 6/64, 15/64, 20/64, 15/64, 6/64, 1/64)

Plus généralement, au bout de N pas, pour arriver à l’abscisse $a$ , l’ivrogne doit effectuer $n_g$ pas vers la gauche et $n_d$ pas vers la droite tel que $n_g+n_d=N$ et $n_d-n_g=a$ .

Si $N$ et $a$ sont fixés, alors les valeurs de $n_g$ et $n_d$ le sont également : $n_d=\frac{N+a}{2}$ et $n_g=\frac{N-a}{2}$ . Il reste alors à choisir quelles étapes correspondent à des pas vers la gauche c’est-à-dire à distinguer des trajectoires comme DDDG, DDGD, DGDD et GDDD. Il faut choisir les $n_g$ pas dirigés vers la gauche parmi N étapes. On a donc $C_N^{n_g}$ trajectoires permettant d’arriver à l’abscisse a au bout de N pas. Or avec N pas, on peut construire en tout $2^N$ trajectoires.

Carl_Friedrich_Gauss — Carl Friedrich Gauss

La probabilité d’arriver à l’abscisse $a$ au bout de N pas est donc

$P_N(a)=\frac{C_N^{n_g}}{2^N}$ .

or $C_N^{n_g}=\frac{N!}{\left(n_g\right)!\left(N-n_g\right)!}$ donc :

$P_N(a)=\frac{1}{2^N}\dfrac{N!}{\left(\frac{N-a}{2}\right)!\left(\frac{N+a}{2}\right)!}$ .

Limite pour un grand nombre de pas

En supposant que le nombre de pas N est très grand devant $a$ , on peut utiliser la formule de Stirling :

$N!\sim\sqrt{2\pi N}e^{-N}N^N$ .

On obtient alors, en utilisant la fonction logarithme et un développement limité à l’ordre 2 :

$P_N(a)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi N}} e^{-\frac{a^2}{2N}}$ .

Il s’agit d’une fonction gaussienne dont l’allure est la suivante :

C’est vers ce type de fonction que tendent les histogrammes de l’article sur l’ivrogne lorsque le nombre de pas devient grand.

Écart quadratique

Plus généralement, la fonction gaussienne s’écrit :

$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$

avec $\sigma$ l’écart-type de la fonction. Il s’agit d’une mesure de l’étalement de la gaussienne qui, dans l’exemple de l’ivrogne, prend la valeur $\sigma=\sqrt N$ . Plus $\sigma$ est petit, plus la fonction est piquée et plus $\sigma$ est grand, plus elle est aplatie.